Estudio de funciones. Continuidad y derivabilidad.
Para estudiar una función se han de tener en cuenta dos conceptos, el de dominio y el de continuidad.
El dominio de una función f(x) nos indica los intervalos que la función ocupa en el eje x, es decir, para cada valor de x se da un valor de f(x), indicándonos que x pertenece a los números reales.
Al analizar su dominio no vamos a sustituir todos los valores de x en la función, pues son infinitos, sino que aquellos que puedan derivar en una discontinuidad.
El tipo de continuidad depende de la función en sí. Se dividen en dos tipos:
-Discontinuidades de primera especie: engloban a las que tienen límites laterales (en el caso de que o exista su valor, se sigue pudiendo aproximar). Engloba a las siguientes:
a)Evitables: Son funciones inicialmente continuas, pero que tienen un punto omitido, creando una discontinuidad. Por ejemplo:
f(x)= x^2 - {-2} Tal y como se puede apreciar, la función de x^2 es continua, pero se nos ha indicado que el valor de x=-2 no se encuentra definido por la función que estamos analizando, por lo cual no pertenece a la curva. Si hiciéramos los límites por la derecha y por la izquierda de x=-2, nos darían el mismo valor (f(x)=4)
b)De salto finito: son similares a las anteriores, solo que cuando nos aproximamos mediante límites a la zona del conflicto, el valor dado por el límite por la derecha difiere del de la izquierda. Dichas discontinuidades se presentan en funciones definidas por partes:
f(x)={ x+3 si x es menor o igual a 4}
x-7 si x es mayor a 4
Aquí, el valor problemático es el 4, pues es donde confluyen las dos secciones de la función. El valor 4 pertenece a la primera, pero el límite por la derecha y el límite por la izquierda toman caminos difernetes. Así pues, si analizamos los límites en x=4:
lim x-7= -3 lim x+3= 7
x->4+ x->4-
Ambos límites difieren, indicando una discontinuidad de salto finito.
c)De salto infinito: son aquellas cuyos límites tienden a un valor infinito en f(x) cuanto más cerca esté el valor x de la discontinuidad. principalmente se da en funciones racionales en las que se anule el denominador, pues no hay valor real que se divida entre cero.
f(x)= 4/(x-1) En esta función, si buscamos el valor de f(x) en x=1 nos dará 4/0, lo cual no tiene solución al ser una indeterminación. Solo podremos averiguar los límites laterales, que tenderán a un valor infinito, ya sea positivo o negativo.
lim 4/(x-1)= lim 4/0+=∞ lim 4/(x-1)= lim 4/0-=-∞ A las asíntotas en x se las llama verticales.
x->1+ x->1+ x->1- x->1-
-De segunda especie: Son todas aquellas que no tengan uno de los límites laterales. A este tipo pertenecen los logaritmos y las raíces, pues todos los valores de x que den una raíz negativa o un logaritmo menor o igual a cero no existen en los reales.
Otra característica de las funciones es la derivabilidad. una funcion que sea derivable es aquella que, al hacer su derivada no origine ningún tipo de discontiunuidad en un valor de x .
Para analizar la derivabilidad se siguen los mismos procesos que en el estudio de la continuidad, mediante límites laterales. Si da una discontinuidad de especie o tipo cualquiera, significará que dicha función no es derivable en ese valor de x para f(x)
El dominio de una función f(x) nos indica los intervalos que la función ocupa en el eje x, es decir, para cada valor de x se da un valor de f(x), indicándonos que x pertenece a los números reales.
Al analizar su dominio no vamos a sustituir todos los valores de x en la función, pues son infinitos, sino que aquellos que puedan derivar en una discontinuidad.
El tipo de continuidad depende de la función en sí. Se dividen en dos tipos:
-Discontinuidades de primera especie: engloban a las que tienen límites laterales (en el caso de que o exista su valor, se sigue pudiendo aproximar). Engloba a las siguientes:
a)Evitables: Son funciones inicialmente continuas, pero que tienen un punto omitido, creando una discontinuidad. Por ejemplo:
f(x)= x^2 - {-2} Tal y como se puede apreciar, la función de x^2 es continua, pero se nos ha indicado que el valor de x=-2 no se encuentra definido por la función que estamos analizando, por lo cual no pertenece a la curva. Si hiciéramos los límites por la derecha y por la izquierda de x=-2, nos darían el mismo valor (f(x)=4)
b)De salto finito: son similares a las anteriores, solo que cuando nos aproximamos mediante límites a la zona del conflicto, el valor dado por el límite por la derecha difiere del de la izquierda. Dichas discontinuidades se presentan en funciones definidas por partes:
f(x)={ x+3 si x es menor o igual a 4}
x-7 si x es mayor a 4
Aquí, el valor problemático es el 4, pues es donde confluyen las dos secciones de la función. El valor 4 pertenece a la primera, pero el límite por la derecha y el límite por la izquierda toman caminos difernetes. Así pues, si analizamos los límites en x=4:
lim x-7= -3 lim x+3= 7
x->4+ x->4-
Ambos límites difieren, indicando una discontinuidad de salto finito.
c)De salto infinito: son aquellas cuyos límites tienden a un valor infinito en f(x) cuanto más cerca esté el valor x de la discontinuidad. principalmente se da en funciones racionales en las que se anule el denominador, pues no hay valor real que se divida entre cero.
f(x)= 4/(x-1) En esta función, si buscamos el valor de f(x) en x=1 nos dará 4/0, lo cual no tiene solución al ser una indeterminación. Solo podremos averiguar los límites laterales, que tenderán a un valor infinito, ya sea positivo o negativo.
lim 4/(x-1)= lim 4/0+=∞ lim 4/(x-1)= lim 4/0-=-∞ A las asíntotas en x se las llama verticales.
x->1+ x->1+ x->1- x->1-
-De segunda especie: Son todas aquellas que no tengan uno de los límites laterales. A este tipo pertenecen los logaritmos y las raíces, pues todos los valores de x que den una raíz negativa o un logaritmo menor o igual a cero no existen en los reales.
Otra característica de las funciones es la derivabilidad. una funcion que sea derivable es aquella que, al hacer su derivada no origine ningún tipo de discontiunuidad en un valor de x .
Para analizar la derivabilidad se siguen los mismos procesos que en el estudio de la continuidad, mediante límites laterales. Si da una discontinuidad de especie o tipo cualquiera, significará que dicha función no es derivable en ese valor de x para f(x)
Comentarios
Publicar un comentario