Intervalos. Máximos y mínimos.



 Para esta explicación tomaré la siguiente función como ejemplo:
f(x)=x/(1+x^2)
 
   Lo primero que se ha de hacer es calcular todas las discontinuidades de dicha función. En este caso no hay ningún tipo de discontinuidad, pues el denominador nunca se anula:
1+x^2=0; x=sqrt(-1) No existe en los reales.
   A continuación se habrá de calcular su derivada. La mayoría de estas son compuestas, como la que estamos haciendo, que es la derivada de un cociente:
f `(x)= (1-x^(2))/((1+x^(2))^(2))
  Ahora, se procede a sacar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para ello, se deben de obtener los valores que generen asíntotas en f(x) y anulen el denominador y numerador de f `(x).

Anula f(x): x=0
Anula f `(x): x=1 y x=-1

                                         Intervalo       f `(x)     f(x)
                                         (-∞, -1]           -          Decrece
                                         (-1, 0]             +         Crece
                                         (0,1]               +         Crece
                                         (1, +∞)           -          Decrece

Sin embargo, no sabemos cuáles aon los máximos y mínimos de esta función. Se puede presuponer que se encuentran entre los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento, pero para asegurarse se hace la segunda derivada de f(x):
 f ``(x)= (2x^(3)-6x)/((1+x^(2))^(3))

Se realiza una tabla de valores, incluyendo todos los valores que anulen el numeroador o denominador de f ´´(x) junto a todos los demás:


Anula f(x): x=0
Anula f `(x): x=1 y x=-1
Anula f ``(x): x= 0, x=-1 y x=3/2


                                                          Valores        f ``(x)     f(x)
                                                               -1               +         Mínimo
                                                                 0               0         -
                                                                1                -          Máximo
                                                                3/2             0         -
Los valores negativos son máximos porque el intervalo comienza a decrecer, y los valores positivos son mínimos porque a partir de ahí el intervalo crece
                                                              
     
                                                        

 
                                         

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