Intervalos. Máximos y mínimos.
Para esta explicación tomaré la siguiente función como ejemplo:
f(x)=x/(1+x^2)
Lo primero que se ha de hacer es calcular todas las discontinuidades de dicha función. En este caso no hay ningún tipo de discontinuidad, pues el denominador nunca se anula:
1+x^2=0; x=sqrt(-1) No existe en los reales.
A continuación se habrá de calcular su derivada. La mayoría de estas son compuestas, como la que estamos haciendo, que es la derivada de un cociente:
f `(x)= (1-x^(2))/((1+x^(2))^(2))
Ahora, se procede a sacar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para ello, se deben de obtener los valores que generen asíntotas en f(x) y anulen el denominador y numerador de f `(x).
Anula f(x): x=0
Anula f `(x): x=1 y x=-1
Intervalo f `(x) f(x)
(-∞, -1] - Decrece
(-1, 0] + Crece
(0,1] + Crece
(1, +∞) - Decrece
Sin embargo, no sabemos cuáles aon los máximos y mínimos de esta función. Se puede presuponer que se encuentran entre los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento, pero para asegurarse se hace la segunda derivada de f(x):
f ``(x)= (2x^(3)-6x)/((1+x^(2))^(3))
Se realiza una tabla de valores, incluyendo todos los valores que anulen el numeroador o denominador de f ´´(x) junto a todos los demás:
Anula f(x): x=0
Anula f `(x): x=1 y x=-1
Anula f ``(x): x= 0, x=-1 y x=3/2
Valores f ``(x) f(x)
-1 + Mínimo
0 0 -
1 - Máximo
3/2 0 -
Los valores negativos son máximos porque el intervalo comienza a decrecer, y los valores positivos son mínimos porque a partir de ahí el intervalo crece
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